「プログラマの数学」で、苦手な数学の勉強をしてみる - 目指せシリコンバレー　初心者プログラマーの道

数学とお別れして、約20年。
対数とか言われても、なんだったか覚えていないレベルです。
なんとなく、プログラミングやっていくには、数学的に考えられる必要があるのではと思い（根拠はないです）、書店で気になって買いました。

ということで、かなり自分流の解釈も含まれると思いますが、備忘メモ。

はじめに：
・数学的な考え方の例：　条件分岐(if）と論理、繰り返し(for)と数学的帰納法、場合分けと数え上げの法則（和の法則、積の法則、順列、組み合わせなど）
・その他：再帰、指数、対数、剰余など

1章：ゼロの物語
2章：論理
3章：剰余
4章：数学的帰納法
5章：順列・組み合わせ
6章：再帰
7章：指数的な爆発
8章：計算不可能な問題
9章：プログラマの数学とは

1章：ゼロの物語
・位取り記数法
・N進法の特徴：使われる数字は、0,1,2,3....,N-1のN種類、右から順にNの0乗の位、Nの１乗の位、Nの２乗の位・・・と基数の右肩に乗っている数字（指数）が増えていく・・（＝基数（底）はN）
・指数が１減ると、全体は１０分の１となる、と考えると、１０の０乗は、１０の１乗の１０分の１、つまり１と考えられる
・さらに１０の-1乗は、１０分の１・・・と「定義」することができる
（メモ：わかりやすいところで、法則を見つけて、それから０乗のように直感的にわかりにくいところの値を、ルールをシンプルにするように定める、という数学的なテクニック）
・位取り記数法（我々になじみの深い表記）で、０を使って「何もない」ことを明示的に書くことで、桁を埋める役割を果たし、ゼロのおかげで、ルールをシンプルにできる
　（ゼロの役割＝プレイスホルダー）
・どうして人間は数の表記法を考える必要があったのか
　＝大きな問題は小さなまとまりに分けて解く
　私たちが取り扱う数は大きくなっている。位取り記数法でも大きすぎる数は、比較など難しい。そこで、指数を使った表現が重要となる

2章：論理
・自然言語の論理は、あいまいになりがち
・命題＝正しいか正しくないかを判断できる文のこと
・命題は必ずtrueかfalseになる
・規則に照らして、命題を判断するが、その際、規則には「もれがない」（＝どんな場合でも真偽の判定ができる）ことと、「だぶりがない」（＝適用するルールがだぶらない）ことが大事
・数直線で表現するとわかりやすい
・もれ・だぶり、は境界に注意する
・もれがない（＝網羅的である）
・だぶらない（＝排他的である）
・例　if文は、網羅的で排他的な分割を表現している

【複雑な命題を組み立てる】
１．否定：Aではない（¬A）
　命題Aがtrueのとき、¬Aはfalse

２．論理積：AかつB(英語ではand)A∧B
　AとBの両方がtrueの場合だけtrue

３．論理和：AまたはB（英語ではor)A∨B

４．排他的論理和：AまたはB（でも両方ではない）：英語ではexclusive or。A⊕B

５．等値：AとBは等しい（A=B)
　なお、¬(A⊕B）は、A=Bと等しい。これは、AとBの真偽に関わらず常にtrueになる命題（＝恒真命題）

６．含意：AならばB：A⇒B
　例　命題A：乗客の年齢は１０歳以上、命題B：乗客の年齢は６歳以上
　注意：Aがfalseなら、Bがtrueでもfalseでも、A⇒Bはtrueとなるところが、自然言語の感覚と異なる
　ベン図の見方のコツ：ベン図の染めていないところを「穴」と考え、「あなたがAに立っているなら、あなたはBに立っている」と見る。そうでないと穴に落ちてしまう
　その他：B⇒Aは、A⇒Bの「逆」という。「逆は必ずしも真ならず」
　ただし、¬B⇒¬Aを、A⇒Bの「対偶」といい、「元の論理式が真（偽）なら、対偶も真（偽）」

【ド・モルガンの法則】
¬A∨¬B＝¬（A∧B）：Aではない、または、Bではない　＝　AかつBではない
¬A∧¬B＝¬（A∨B）：Aではない、かつBではない　＝　AまたはBではない

3章：剰余
4章：数学的帰納法
5章：順列・組み合わせ
6章：再帰
7章：指数的な爆発
8章：計算不可能な問題
9章：プログラマの数学とは